DO-TO-HO Turnier-Modus-Vorschlag

Bei der Ausarbeitung von Turnierspielplänen bestehen offensichtlich (sogar für mich als Nur-Mitspieler) oft Problemchen, gerechte und für alle Teilnehmer interessante Spielpläne aufzustellen. Dies soll ein Versuch sein, einen Algorithmus anzugeben, der ausgehend von

• der Anzahl der Teilnehmer N und
• der Anzahl der gewünschten Spiele pro Spieler r

Beachte, daß das Produkt N·r gerade sein muß, da jedes Spiel von genau zwei Spielern bestritten wird. (Ach! Trivial? Sei's drum.)

Bei Austragung aller Spiele des Plans ergibt sich eine Rangliste der Teilnehmer, nach der man die Teilnehmer einer Endrunde nach beliebigem Modus festlegen kann.

Vermieden werden soll die Einteilung der Teilnehmer in Vorrunden-Gruppen, da dies in vielen Fällen durch Teilbarkeitsprobleme erschwert wird.

Der Algorithmus

1. Jedem Mitspieler wird eine Nummer zwischen 1 und N zugelost. Durch "Setzlisten" sind hier Variationen möglich.
2. Das Spiel zwischen den Spielern mit den Nummern a und b wird genau dann ausgetragen, wenn |(a-b) MOD N| < r/2 gilt.

Damit hat jeder Mitspieler genau r Spiele, nämlich r/2 gegen diejenigen, die über ihm in der ausgelosten Liste stehen und r/2 gegen diejenigen, die dort unter ihm stehen. (Man stelle sich die ausgeloste Liste kreisförmig angeordnet vor!)

Eine mögliche Abfolge der Spiele

Eine Vorrunde nach diesem Plan kann in r/2 Durchläufen abgehalten werden.

i-ter Durchlauf

In diesem Durchlauf sollen diejenigen Spiele mit |(a-b) MOD N| = i ausgetragen werden. D.h. jeder Spieler hat zwei Spiele in diesem Durchlauf.

Es sei N = 2·i·n + m mit 0 <= m<2·i, m₁=min{m,i} und m₂=max{0,m-i}.

Es werden der Reihe nach die folgenden Spiele ausgetragen (die rechten Seiten sind modulo N zu lesen!):

und falls m₁ > 0

und dann

und falls m₂ > 0

Jeder Spieler tritt jeweils genau einmal links und rechts auf.

Der Fall "r ungerade"

N muß dann unbedingt gerade sein!

Falls eine ungerade Anzahl von Spielen pro Spieler gewünscht ist, wird zuerst eine Vorrunde nach obigem Schema mit r-3 Spielen pro Spieler ausgetragen. Daran anschließend trägt jeder Spieler noch drei weitere Spiele aus.

1. Fall: [r/2]+1 ungerade

wobei a ungerade ist. Da a+i dann gerade ist, hat jeder Spieler genau ein Spiel!

2. Fall: [r/2]+1 gerade

wobei a ungerade ist. Da a+i dann gerade ist, hat jeder Spieler genau ein Spiel!

Variationen

1. Möchte man beispielsweise sicherstellen, daß jeder Spieler auf Gegner unterschiedlicher Spielstärke trifft, so kann man die Teilnehmer zunächst nach WRL in r Spielstärkeklassen aufteilen. Aus der "crème de la crème" werden dann die Plätze 1 mod r besetzt, die etwas schwächeren werden auf die Plätze 2 mod r gelost, usw.
2. Entsprechend könnte man auch bewirken, daß Spieler aus der gleichen Stadt, die ohnehin oft gegeneinander spielen, möglichst nicht aufeinander treffen: dazu unterteilt man in r "Herkunftsklassen" und verfährt wie oben.

Bemerkungen

1. Die Gesamtzahl der Spiele ist N·r. Günstig ist natürlich, wenn sich diese Zahl (wenigstens annähernd) durch die Anzahl der bespielten Bretter teilen läßt (also der Divisionsrest groß oder 0 ist).
2. Vollkommene Gerechtigkeit ist unmöglich zu erreichen, das Losglück wird immer eine wichtige Rolle spielen.
   Es wird aber überflüssig, umständlich einen "Besten Vierten" aus mehreren Vorrundengruppen oder ähnlich schwierig definierbare Konstruktionen zu ermitteln.
3. Es wird vermieden, Vorrundengruppen mit unterschiedlichen Anzahlen auszutragen, die zwangsläfig zu besonderen Gewichtungen einzelner Spiele oder einzelner Paarungen führen, weil sogennate "Freilose" eingesetzt werden, oder zweimal gegen denselben Gegner zu spielen ist.
4. Beispiele für den "absolut kleinsten Divisionsrest":
   9 MOD 5 = -1, da 1 kleiner als 4 ist
   8 MOD 5 = -2, da 2 kleiner als 3 ist
   5 MOD 3 = -1, da 1 kleiner als 2 ist

Ein Programm mit der Umsetzung dieses Algorithmus und Beispiele zum Ausdrucken findet man (demnächst) im Turnierhilfsmittel-Menu.